科学、创新、高效

------高三数学试卷讲评探究

昆山市教育局教研室 陈纪华

高三数学试卷讲评课是高三课堂复习的重要组成部分．上好试卷讲评课，对于学生解题思路、方法、习惯乃至数学能力的提高，有着举足轻重的作用．对于打造高效课堂，让学生科学备考有着重要意义．

目前试卷讲评过程中的一些问题：答案为先，一讲到底，面面俱到，就题论题．

结果：审题不细，运算老错，方法笨拙，错误重复，效率低下，能力弱化，常考常昏．

对策：

一、做好分析统计，辨析试题背景，设计讲评思路，重在方法引领；

要分析所教班级学生数学学习现状，基础知识与能力掌握情况，了解学生目前状态下的知识缺陷及自身教学存在问题，做到知己知彼，才能有的放矢．要统计学生试题得分情况，错误率（填空题正确率高的还要看看学生得到答案的方法），产生错误的原因（审题？运算？知识点？方法？习惯）做到心中有数．讲评时要从审题开始，注重试题背景（命题人思路），辨析试题条件，应用合理方法，做到过程规范，解答正确！

例1：已知tanα＝，tanβ＝，且α，β∈(0，π)，则α＋2β＝________．

【答案】

[解析]tan 2β＝＝＝，所以tan(α＋2β)＝＝＝1．

∵tanα＝＜1，α∈(0，π)，∴α∈，同理β∈，∴α＋2β∈，

所以α＋2β＝．

链接：必修4教材第118页习题第10题]若0＜α＜，0＜β＜，且tanα＝，tanβ＝，求证α＋β=．

例2：满足，的的面积的最大值是 ．

法一：设，则，计算角C正弦，用三角形面积公式得面积最大值（函数思想）；

法二：以所在直线为轴，中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则

，设，则，化简得，即C点轨迹是以为圆心，的圆（去掉与轴两交点），所以边上高的最大值为，即面积最大值为．

命题背景：轨迹，阿波罗尼斯圆．

链接：选修2-2 P63例2：求平面内到两个定点A、B的距离比等于2的动点M的轨迹方程．

一般的：，，则C点轨迹为圆，

例3：（1）（2014江苏12）如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是 ▲ .

【答案】22

【解析】解法一：（基底法）考虑将条件中涉及的向量用基底表示，而后实施计算.

，.

则.

因为，则，故.

A

B

D

C

P

（第12题）

解法二：（坐标法）不妨以点为坐标原点，所在直线作为轴建立平面直角坐标系，可设，则，.

由，得，由， 得，则，

所求.

（2）（2014苏锡常镇一模）如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为 ▲ ．

此题命制的很有新意，是一个优秀的中档题，考查了平面向量的基本知识，虽然方法较多，但命题者的本意应该是这样的：

，易得

平面向量的核心考点就是“平面向量的基本定理”及“数量积”，解题中应纠正一个误区，就是不研讨试题背景，盲目把平面向量坐标化，然后去运算，看似一条捷径，实际即限制了思维，又浪费考试时间，所以平时多对试题做研究是很有必要的，准确的切入很重要．

链接：必修4 P75例1：平行四边形的对角线和交与点M，，，试用、表示、、及．

(3)已知中,分别为边的中线且,则的最小值为 .

【答案】.

【解】法一：如图建立直角坐标系，设，

，.

【解】法二：如右图，设，

，要使得最小，只要角最大.

，所以的最小值为.

【解】法三：，

.

注：解题的切入点很重要“中线”、“垂直”对向量工具的使用是一种强烈的暗示，无疑，法三是我们追求的方法。

事实上，很多试题的命题背景均来自于教材，所以评讲试卷时，弄清试题背景有事半功倍的效果，另外，评讲时方法的切入也很重要，上述例子虽然都不止一种解法，但事实上选对方法对解题是否成功尤为关键，讲评时要突出中学数学的重要方法，在综合卷的讲评中不主张一味的一题多解，要突出方法的选择与优化．

二、发挥学生主体性，让学生在讲评过程中主动探索，学会学习；对学生试卷上确有困难的题目，师生间应该互动交流，合作探究，尽量提供给学生自己总结，自我订正的机会，教师不要大包大揽．

例4：函数f(x)=的单调增区间为 ；比较3^π与π³的大小 .

第一问的作用是什么？ 比较大小的常用方法？如何与第一问挂钩？

3^π与π³的大小即比较

即比较

例5：如图，有一矩形地块ABCD，其相邻边长为20和50，现要在它的短边与长边上各取一点P与Q，用周长为80的篱笆围出一块直角三角形的花园，则围出部分的最大面积为__________．

学生困惑：如何选择自变量，角度还是边长，哪个好？

设，，则

令，则，显然

如何求目标函数最大值，吗？

此时符合题意的三角形不存在，那最大取多少？

（，得，）

三、讲评不要面面俱到，要突出重点，具有针对性．一般来讲，试卷上错误率较高的试题应该是课堂讲评的重点，但也要注意两个方面，一是绝对难度较大的题（难度系数0.2以下），学生错误率高，但是考虑到学生的接受能力，不建议整班讲评，可以提供思路与方法，供学有余力的学生课后研究，或是针对目标生采用面批的方式效果会更好；二是每次的评讲最好突出某个核心环节，是重点在方法的切入，还是审题，还是运算等等，这样讲评就可以集中力气在某个点上，比全面铺开更有力．

例6：在等差数列中,前项和为,,则的值为___ __.

【答案】2014

[解析]由知，，所以是以2014为首项，－1为公差的等差数列，所以，所以.

例7：等比数列中,若,

则___________.

【答案】

[解析]根据等比数列的性质，

所以=.

四、讲评试卷要以点带面，使学生知识系统化，结构化，鼓励“借题发挥”，一题多变，多题一解，透过现象抓本质，让学生跳出题海，以不变应万变．

例8：已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ▲ .

【答案】

【解析】画出二次函数的分析简图：

由图象分析可得结论：开口向上的二次函数在上恒小于0的充要条件为 开口向下的二次函数在上恒大于0的充要条件为

.

【变式】

变式1 已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是__________ .

变式2 已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是__________ .

变式3 已知函数若存在，使得成立，则实数的取值范围是__________ .

变式4:若对恒成立，则取值范围__________ .

变式5 设是定义在上的奇函数，且当时,,若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________.

五、试卷讲评要引导学生注重课堂及课后反思，对试卷上学生反映出来的问题讲评后要及时予以巩固，促使学生在反思与巩固中掌握方法，提升思维能力，养成好的解题习惯．

例9：四市五区2013～2014学年第一学期高三期中考试 第14题）

已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足

且为偶函数，，则不等式的解集为

巩固1：定义在R上的可导函数的导函数为，满足，

且函数为偶函数，若，则的解集为 ．

巩固2：（2014-2015苏州市高二期末测试14）

定义在R上的可导函数满足，当时，，则不等式

的解集为 ．

分析：构造函数，则，顾为奇函数；

转化为，得

六、试卷讲评要注意激励学生斗志，增强学生自信心，多鼓励，赞扬学生解题中的闪光点，要保持和强化学生积极的心理动机，充分调动起学生的学习动力与兴趣，充满“正能量”．

例10：在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，上顶点为，直线与椭圆交于两点，且的面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

x

y

O

B

C

D

l

P

Q

M

N

m

（2）设点是椭圆上一点，过点引直线，其倾斜角与直线的倾斜角互补.若直线与椭圆相交，另一交点为，且直线与轴分别交于点，求证：为定值．

解：（1）由，得，，

联立，得，

所以，

又上顶点到直线的距离为，

所以的面积为，

解得，即椭圆的方程为.

（2）设，则，因为直线与直线的倾斜角互补，所以，

所以直线的方程为，

令，得；令，得.

所以

.

方法2：设，则，因为直线与直线的倾斜角互补，

所以，

所以直线的方程为，

令，得；令，得.

联立，消去，得，

解得，

所以.

链接：已知椭圆的左、右焦点分别为、，过作直线与椭圆交于点、．

（1）若椭圆的离心率为，右准线的方程为，为椭圆上顶点，直线交右准线于点，求的值；

（2）当时，设为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点，，证明：点在定直线上．

（1）设，则，解得，

所以椭圆的方程为，

则直线的方程为，令，可得，

联立，得，所以，，

所以．

（2）设，，则直线的方程为，

令，可得，

由可知，，整理得，

又，

联立，解得，

所以点在定直线上．

常规运算的过关是解析几何得分的重要保障！也是提升学生信心的重要抓手！

总之，数学试卷讲评课要达到纠正错误，拓宽思路，巩固知识，提高能力的目的，要成为高效备考的重要手段！